Shmei seic sto mˆjhma Analutik GewmetrÐa
|
|
- Νέμεσις Λύτρας
- 4 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Shmei seic sto mˆjhma Analutik GewmetrÐa Didˆskwn: Lˆppac D. Ejnikì Kapodistriakì Panepist mio Ajhn n
2 A' MEROS
3 3 Eisagwg Suntetagmènwn H perðptwsh tou epipèdou (E) E epðpedo thc EukleÐdiac Gewmètriac me thn eureða ènnoia (ta shmeða miˆc eujeðac kai oi metaxô touc sqèseic odhgoôn se ta twn meletˆme tic idiìthtec), E 1 1 R dhlad M E (x, ψ) R. epð O R èqei dom dianusmatikoô q rou me diˆstash dimr =. Sto epðpedo E den orðzetai prìsjesh shmeðwn me profan trìpo. Autì pou sundèei ton R me ton E eðnai h ènnoia tou dianôsmatoc. H ènnoia efarmostì diˆnusma = diatetagmèno zeôgoc (A, B),ìpou A, B E. JewroÔme mða sqèsh metaxô twn zeug n (A, B) (Γ, ) ta eujôgramma tm mata AB kai Γ eðnai Ðsou m kouc parˆllhla kai omìrropa me ˆkra sto Ðdio hmiepðpedo() Isqurismìc. H parapˆnw sqèsh metaxô twn zeug n (A, B) (Γ, ) eðnai sqèsh isodunamðac, dhlad eðnai anaklastik (A, B) (A, B) summetrik (A, B) (Γ, ) (Γ, ) (A B) } (A, B) (Γ, ) metabatik (Γ, ) (A, B) 'Askhsh: Na apodeiqjeð o isqurismìc. EleÔjero Diˆnusma. [(A, B)] = {(Γ, ) (A, B) (Γ, )} gia ìla ta (Γ, ) pou eðnai Ðdiou mètrou, parˆllhla, omìrropa me to (A, B). [(A, B)] [(K, Λ)] [(A, B)] = [(K, Λ)] 'Estw ω [(A, B)] kai ω = (P, Σ) tìte ω = (P, Σ) (P, Σ) (A, B) (P, Σ) (K, Λ)
4 4 Apì thn opoða sunepˆgetai, (K, Λ) (A, B) [(K, Λ)] = [(A, B)] StoiqeÐa Ðdiac klˆshc ω SumbolÐzoume ìla ta stoiqeða Ðdiac klˆshc me èna diˆnusma. SÔnolo klˆsewn: D sônolo phlðkou Ta eleôjera dianôsmata den èqoun shmeðo efarmog c se antðjesh me ta efarmostˆ dianôsmata pou èqoun shmeðo efarmog c. Apì kˆje shmeðo xekinˆei èna mìno eleôjero diˆnusma pou an kei se miˆ sugkekrimènh klˆsh. Dhlad, an dojeð shmeðo O tou epipèdou tìte: ω D!(akrib c èna) shmeðo M E ètsi ste [(O, M)] = ω. paðrnw antipros pouc me koin arq kai orðzoume, D 0 D 0 : ìla ta dianôsmata thc klˆshc ω pou xekinoôn apì to O. Apeikìnish φ 0 : D D 0 ìpou φ 0 : 1 1 kai epð φ 0 (M) = OM = ω D 0. R : èqei dom dianusmatikoô q rou diˆstashc, dimr = SÔndesh D 0 me ton R Sto D 0 orðzontai oi prˆxeic: (+) : D 0 D 0 D 0 prìsjesh, ( ) : R D 0 D 0 shmeiakìc pollaplasiasmìc. Prìsjesh Kanìnac Parallhlogrˆmmou Pollaplasiasmìc (prˆxh pol/smou sto D) [(O, K)] = z D 0 ω + σ = z prˆxh prìsjeshc sto D (OΛ) = λ(om) λ > 0, omìrropo λ < 0, antðrropo Prìtash: To D 0 eðnai dianusmatikìc q roc Apìdeixh: (deðqnoume ìti oi prˆxeic thc prìsjeshc (+) kai tou pollaplasiasmoô ( ) èqoun ìlec tic idiìthtec tou dianusmatikoô q rou)
5 5 p.q. a + ( β + γ) = ( a + β) + γ kataskeuastikˆ me kanìna parallhlogrˆmmou. 'Eqoume touc dianusmatikoôc q rouc: D 0, R kai jèloume na touc susqetðsoume, dhlad na broôme mða apeikìnish metaxô twn sunìlwn R = R R pragmatikoð arijmoð, kai D 0 gewmetrða. H epituq c sôndesh ja eisagˆgei arijmoôc sthn GewmetrÐa. UpenjÔmish apì GewmetrÐa H gewmetrik eujeða eðnai se 1 1 antistoiqða me to R. Oi eujeðec eðnai ˆxonec me prosanatolismì. M λ : (OM) = λ(oa), λ R èqei prìshmo, λ, N : λ (OA). 'Eqoume ta E, O, D 0. Epilègoume dôo temnìmenec eujeðec tou epipèdou pou dièrqontai apì to O kai tic tic kajist 'AXONES stouc opoðouc orðzw tic monˆdec i, j. {O, i, j} Autì mou epitrèpei na kataskeuˆsw apeikìnish Ψ : D 0 R. 'Estw ω D 0 kai M : [(OM)] = ω OM = ω. parallhlogrˆmmou. BrÐskw Γ ϵ 1 kai ϵ ètsi ste: OM = OΓ + O OΓ = x i me x, ψ R prˆxeic sto D 0 O = ψ j Dhlad OM = x i + ψ j D 0 ω ψ (x, ψ) R AnalÔw to OM me bˆsh ton kanìna tou H diadikasða Ψ eðnai 1 1 kai epð". H epilog thc arq c kai h epilog twn axìnwn eðnai aparaðthtec gia thn eisagwg suntetagmènwn (ìtan allˆzoun oi ˆxonec allˆzoun kai oi suntetagmènec). D 0 : Dianusmatikìc q roc (prˆxeic dianusmˆtwn) R : Dianusmatikìc q roc (prˆxeic zeugari n) ψ(0, i, j) = ψ : D 0 R H apeikìnish eðnai grammikìc isomorfismìc EÐnai 1 1 kai epð kai GRAMMIKH.
6 6 GRAMMIKH { Prìtash Oi suntetagmènec tou ajroðsmatoc (dianusmˆtwn) eðnai to ˆjroisma twn suntetagmènwn (zeugari n) D 0 D 0 ψ ψ R R D 0 + ψ R ìpou ekfrˆzei ˆjroisma dianusmˆtwn kai + ekfrˆzei ˆjroisma suntetagmènwn. GRAMMIKH: ψ( u w) = ψ( u) + ψ( w) APODEIXH: me kanìna parallhlogrˆmmou. AfoÔ D 0 R kai D 0 D E tìte prokôptei E R. E : EPIPEDO ENNOIA EFARMOSTOU DIANUSMATOS - KLASEIS DIANUSMATWN SUNOLO D ELEUJERWN DIANUSMATWN SUNOLO D 0 KLASEWN DIANUSMATWN ME KOINH ARQH APEIKONISH φ 0 : D D 0 me φ 0 : 1 1 kai epð To D 0 eðnai DIANUSMATIKOS QWROS APEIKONISH ψ : D 0 R me ψ : GRAMMIKOS ISOMORFISMOS E ènnoia dianôsmatoc D φ 0 D 0 ψ R
7 7 ApodeÐxame ìti D 0 = R apì ìpou prokôptei dimd 0 = GEWMETRIKH ERMHNEIA (Orismìc Grammik n Anexart twn Dianusmˆtwn) 'Estw u 0 tìte u grammikì anèxˆrthto. Prìtash 'Estw u, v grammikˆ exarthmèna dianôsmata, tìte ta u, v eðnai suneujeiakˆ. Apìdeixh: Upˆrqoun λ, µ R ìqi kai ta dôo mhdèn tètoia ste λ u + µ v = 0. 'Estw λ 0 tìte u = ( µ ) v u = ρ v, ρ R. λ Apì ton orismì tou pollaplasiasmoô prokôptei ìti ta dianôsmata u, v èqoun koinì forèa. AfoÔ èqoun koinì forèa kai koin arq eðnai sthn Ðdia eujeða. Prìtash: TrÐa dianôsmata sto epðpedo eðnai pˆntote grammikˆ exarthmèna Apìdeixh. (ErmhneÐa-Dikaiolìghsh) 'Estw ta dianôsmata u, v, w D 0 D. 1. An kˆpoio apì autˆ eðnai mhdèn, p.q. to u tìte 1 u + 0 v + 0 w = 0 kai epeid 1 0 èpetai ìti ta u, v, w eðnai exarthmèna.. An kanèna apì autˆ den eðnai mhdèn, tìte: w = w 1 + w, w 1 = λ u, w = µ v. 'Ara ta u, v, w eðnai grammikˆ exarthmèna. Perigraf Gewmetrik n Antikeimènwn mèsw thc taôtishc D 0 dianusmatik morf = R analutik morf (suntetagmènec) Perigraf twn Gewmetrik n Antikeimènwn shmeðou kai eujeðac sta D 0, D. Epilog thc KOINHS ARQHS To shmeðo M perigrˆfetai mèsw tou dianôsmatoc OM M E OM
8 8 To eujôgrammo tm ma twn shmeðwn M, N E perigrˆfetai M N : prosanatolismèno tm ma (eujôgrammo) Perigraf sto R D MN = OM + ON D 0 To shmeðo M : OM = i x M + j ψ M ìpou x M,ψ M monadikˆ M (x M, ψ M ) To eujôgrammo tm ma MN : MN (x N x M, ψ N ψ M ) 'Askhsh: EÔresh mèsou (Perigraf tou mèsou gewmetrikˆ kai analutikˆ). 'Estw ta shmeða M, N kai to MN eujôgrammo tm ma pou orðzetai apì ta shmeða, kai èstw K to mèson Apìdeixh: Apì thn idiìthta tou mèsou,, EujeÐa sto EpÐpedo x K = x M + x N, ψ K = ψ M + ψ N OK = OM+ ON, u K = u M + u N MK = KN tìte MO + OK = KO + OK = OM + ON OK = ON OM + ON Oi eujeðec den eðnai pˆnta UPOQWROI. Gewmetrikˆ h eujeða kajorðzetai ( ): Klˆsh parallhlðac: DieÔjunsh r M = r A + t u, t R Dianusmatik exðswsh thc eujeðac. Analutik exðswsh thc eujeðac 0, i, j eðte apì dôo shmeða thc eðte apì èna shmeðo kai ˆllh mða eujeða parˆllhlh proc aut n (dhlad thn ( ) klˆsh parallhlðac). OM = OA + AM eujeða AM = t AB t u, t R OM = OA + t u. DÐnontai A OA = r A diˆnusma jèshc, M OM = r M
9 9 A (x A, ψ A ) u = (α, β) M = (x, ψ) (x, ψ) = (x A, ψ A ) + t(α, β) (x, ψ) = (x A + tα, ψ A + tβ) { SÔsthma exis sewn thc eujeðac me x = x A + tα 'Ara ψ = ψ A + tβ me t R PARAMETRO t (Parametrikèc exis seic) APALOIFH thc PARAMETROU } 1 (x A x) + tα = 0 omogenèc grammikì sôsthma me (1, t) (0, 0) 1 (ψ A ψ) + tβ = 0 èqei ˆpeirec lôseic kai orðzousa mhdèn. x A x α 'Agnwstoc eðnai to t, ψ A ψ β = 0 (x x A)β (ψ ψ A )α = 0 βx αψ (βx A αψ A ) = 0 Morf : Ax + Bψ + Γ = 0, A + B = 0. PROBLHMA: EUJEIES SUNTREQOUSES (ε 1 ), (ε ), (ε 3 ) sunj kh ste na dièrqontai apì to IDIO SHMEIO (ε 1 ) :A 1 x + B 1 ψ + Γ 1 = 0 (ε ) :A x + B ψ + Γ = 0 (ε 3 ) :A 3 x + B 3 ψ + Γ 3 = 0 An dièrqontai apì to prèpei na eðnai lôsh twn dôo pr twn kai na ikanopoieð to trðto. Pìte lème ìti to SUSTHMA eðnai SUMBIBASTO? SUNJHKH: A 1 B 1 Γ 1 A B Γ = 0 A 3 B 3 Γ 3 'Askhsh: Na apodeiqjeð ìti oi Diˆmesoi enìc trig nou dièrqontai apì to Ðdio shmeðo (ME DIANUSMATA: GEWMETRIKA) ANALUTIKA: sto R LUSH: SumbolÐzoume me µ α, µ β, µ γ tic diamèsouc apì tic korufèc Â, ˆB, ˆΓ antðstoiqa. 'Eqoume, AM 1 = ( x B + x Γ x A, ψ B + ψ Γ µ α r A + t AM 1 r = (x A, ψ A ) + t ( x B + x Γ x A ψ A ) = (x B + x Γ x A, x B + x Γ x A, ψ B + ψ Γ ψ A ) )
10 10 Morf OrÐzousac: x A x µ α x B + x Γ x A OmoÐwc brðskoume tic orðzousec gia µ β, µ γ. ψ A ψ ψ B + ψ Γ ψ A = 0 ALLH LUSH: manteôoume to shmeðo tom c twn dôo diamèswn kai deðqnoume ìti apì ekeð pernˆei kai h trðth diˆmesoc.
11 11 GRAMMIKH ANEXARTHSIA DIANUSMATWN ORISMOS TO MONHRES DIANUSMA u EINAI GRAMMIKO ANEXARTHTA PROTASH 1: AN u, w GRAMMIKA EXARTHMENA TOTE u, w SUNEUJEIAKA PROTASH : TRIA DIANUSMATA STO EPIPEDO EINAI GRAMMIKA EXARTHMENA PERIGRAFH GEWMETRIKWN ANTIKEIMENWN GEWMETRIKA KAI ANALUTIKA SHMEIO TOU EPIPEDOU EUJUGRAMMO TMHMA MESON EUJUGRAMMOU TMHMATOS EUJEIA STO EPIPEDO SUNTREQOUSES EUEJEIES PROTASH: OI DIAMESOI ENOS TRIGWNOU DIERQONTAI APO TO IDIO SHMEIO
12 1 Plagiog nio sôsthma suntetagmènwn ψ{0, i, j} ALLAGH SUSTHMATWN SUNTETAGMENWN Pwc sqetðzontai dôo sust mata {0, i, j} {0, i, j } EQOUN IDIA ARQH {0, i, j} {0, i, j } DIAFEROUN OI ARQES SUSTHMATA ME IDIA ARQH Ekfrˆzw ta i, j wc proc i, j i = α i + β j j = γ i + δ j α β me α, β, γ, δ R kai γ δ 0 An αδ βγ = 0 kai α 0 tìte δ = βγ α. 'Ara j = γ i + βγ α j j = γ α (α i + β j) = λ i, dhlad ta j kai i ja tan grammikˆ suggramikˆ { } [ ] { } i α β i = j γ δ j M = [ α γ ] β ALLAZEI TH BASH. δ P c allˆzoun oi suntetagmènec 'Estw A(x A, ψ A ) wc proc { i, j} kai A(x A, ψ A ) wc proc { i, j }, tìte OA = x i + ψ j = x i + ψ j OA = x (α i + β j) + ψ (γ i + δ j) OA = (x α + ψ γ) i + (x β + ψ δ) j = x i + ψ j ProkÔptei ìti: x = x α + ψ γ ψ = x β + ψ δ [ ] x = ψ [ α β ] [ γ δ x ψ ]
13 13 [ ] x = ψ [ x ψ [ α β ] t [ γ δ x ψ ] ] [ ] = (M 1 ) t x ψ giatð detm 0 ˆra M 1. [ ] [ x = M t ψ x ψ ] Kˆje antistrèyimoc pðnakac orðzei mða allag (plagiog niwn) suntetagmènwn. PWS SUNDEONTAI DUO SUSTHMATA me DIAFORETIKH ARQH i = OO + α i + β j j = OO + γ i + δ j { } [ i = j x 0 ψ 0 ] x = x 0 + αx + γψ ψ = ψ 0 + βx + δψ + [ α β γ δ ] { } i j PROBLHMA: Na anagnwrisjeð h gramm pou perigrˆfetai apì thn exðswsh κx + λψ + µ = 0, κ + λ = 0. (Ta x, ψ eðnai suntetagmènec wc proc èna sôsthma). Prìkeitai gia eujeða parˆllhlh sto diˆnusma ( λ, κ) sto sôsthma (O, x, ψ). An allˆxoume sôsthma h MORFH [ ] exðswshc den allˆzei, [ ] allˆzoun [ ] ìmwc oi suntelestèc. Allˆzoume [ sôsthma, ] tìte: x x x x (κ, λ) + µ = 0 ìpou = T ψ ψ ψ me T pðnaka. 'Ara (κ, λ)t = 0 ψ [ ] [(κ, λ)t ] x ψ + µ = 0 (1) Gia na ( ) eðnai h (1) eujeða prèpei (κ, λ)t (0, 0). AfoÔ T ANTISTREYIMOS eðnai diˆforoc 0 tou kai epeid κ + λ = 0 èpetai ìti kai (κ, λ) (0, 0). 'Ara (κ, λ)t (0, 0). An eðqame 0 kai ALLAGH ARQHS tìte [ ] [ ] [ ] x x 0 x = + T ψ ψ opìte [(κ, λ)t ] ìpou jètontac (κ, λ ) = (κ, λ)t kai µ = [ [ x ψ ] [ ψ 0 + [ x 0 ψ 0 ] [ x 0 ψ 0 ] (κ, λ) + µ] (κ, λ) + µ] paðrnoume (κ, λ ) Oi GEWMETRIKES ENNOIES eðnai ANEXARTHTES apì to SUSTHMA SUNTETAGMENWN [ x ψ ] +µ. p.q. MESON EUJUGRAMMOU TMHMATOS
14 14 AM = MB M : mèson AB x M = x A + x B, ψ M = ψ A + ψ B (x A, ψ A ) (x A, ψ A ) (x M, ψ M ) (x M, ψ M ) p.q. PARALLHLES EUJEIES To akìloujo sôsthma eðnai ADUNATO { κx + λψ + µ = 0 κ x + λ ψ + µ = 0 κ λ Prèpei det κ λ = 0 AX = B A A deta = 0 A T A ( ) ( ) ( ) κ λ x µ = κ λ ψ µ H ENNOIA TRIGWNO A, B, Γ mh suneujeiakˆ shmeða { AB, AΓ} GRAMMIKA ANEXARTHTA {0, i, j}, A(x A, ψ A ), B(x B, ψ B ), Γ(x Γ, ψ Γ ) AB (x B x A, ψ B ψ A ) AΓ (x Γ x A, ψ Γ ψ A ) { AB AΓ} x B x A ψ B ψ A x Γ x A ψ Γ ψ A 0 x A ψ A 1 x B ψ B 1 0 x Γ ψ Γ 1 To trðgwno ABΓ odhgeð sto { AB, AΓ} {A, AB, AΓ} Se autì to sôsthma to AB eðnai to (1, 0) kai to AΓ eðnai to (0, 1) {A, AB, AΓ} {0, i, j} ASKHSH: OI DIAMESOI enìc TRIGWNOU SUNTREQOUN LUSH: qwrðc blˆbh thc genikìthtac mpor na jèsw A(0, 0), B(1, 0), Γ(0, 1)
15 15 µ α µ β µ γ K(x K, ψ K ), Λ(x Λ, ψ Λ ) x x K x Λ x K = 0 ψ ψ K ψ Λ ψ K 1 x 0 µ α 0 ψ = 0 x ψ = 0 x µ β 1 ψ 0 = 0 ψ = 1 x x 0 µ γ 0 ψ = 0 LUSH tou SUSTHMATOS: x = ψ. PROBLHMA ArqÐzw me èna trðgwno ABΓ. Fèrw parˆl- lhlh proc th bˆsh thn eujeða ε. Jewr M ε to shmeðo tom c twn diagwnðwn tou TRAPE- ZIOU pou prokôptei. ZhteÐtai o Gewmetrikìc Tìtpoc tou shmeðou M ε. 'Estw ABΓ orjwg nio kai isoskelèc trðgwno, tìte o gewmetrikìc tìpoc eðnai Ôyoc, diˆmesoc, diqotìmoc. Allˆzw sôsthma apoorjogwnio se PLAGIOGWNIO. {A, AB, AΓ} {0, i, j} plagiog nio diathroôntai ìlec oi ènnoiec: EUJ. TMHMA, MESON, TRIGWNO. 'Ara o G.T. eðnai EUJEIA. Ja eðnai to Ôyoc h diˆmesoc h diqotìmoc. Upoqrewtikˆ eðnai h DIAMESOS. PARATHRHSH: sto plagiog nio sôsthma den èqoume MHKH kai GWNIES OdhgoÔmaste se èidikˆ sust mata suntetagmènwn: ta ORJOKANONIKA. ORJOKANONIKO SUSTHMA SUNTETAGMENWN z = x + ψ z = x + ψ (AB) = (OA) + (OB) Jewr ta sust mata {0, i, j} ìpou i j me i = j = 1.
16 16 M OM = x i + ψ j, OM = x + ψ A(x A, ψ A ) kai B(x B, ψ B ), AB = (x B x A ) + (ψ B ψ A ). SUSQETISMOS ORJOKANONIKWN SUSTHMATWN SUNTETAGMENWN ARQH Anˆlush probl matoc {0, i, j}, {0, i, j } tìte { } i = T j { } i j, T R me det(t ) 0. AfoÔ ta sust mata eðnai eidikoô tôpou to T DESMEUETAI kai den mporeð na eðnai tuqaðo. Ta pˆnta kajorðzontai apì th gwnða φ.
17 17 ALLAGH SUNTETAGMENWN sta PLAGIOGWNIA SUSTHMATA SUSTHMATA me KOINH ARQH p.q. {0, i, j} kai {0, i, j } SUSTHMATA me DIAFORETIKH ARQH p.q. {0, i, j} kai {0, i, j } PROTASH: OI GEWMETRIKES ENNOIES eðnai ANEXARTHTES tou SUSTHMATOS SUNTETAGMENWN EUJEIA MESON EUJUGRAMMOU TMHMATOS PARALLHLES EUJEIES TRIGWNO EFARMOGH: OI DIAMESOI TRIGWNOU SUNTREQOUN ORJOKANONIKO SUSTHMA POLIKES SUNTETAGMENES ALLAGH SUNTETSGMENWN sto ORJOKANONIKO SUSTHMA Sto PLAGIOGWNIO SUSTHMA h ALLAGH SUNTETAGMENWN DEN EPHERAZEI th GEWMETRIKH ENNOIA TA MHKH kai OI GWNIES OMWS DEN EINAI ANEXARTHTA.
18 18 ORJOKANONIKA SUSTHMATA EPIPEDOU {0, i, j} me i = j = 1, i j OM = x i + ψ j OM = x + ψ Pwc sqetðzontai dôo orjokanonikˆ sust mata me thn IDIA ARQH {0, i, j} {0, i, j } OM = x i + ψ j OM = x i + ψ j [ ] [ ] [ ] x x α β = P ψ ìpou P = ANTISTREYIMOS detp 0 ψ γ δ MORFH TOU PINAKA P OM = eðnai koinì kai sta dôo dianôsmata, 1 oc trìpoc: OM = x + ψ = (x ) + (ψ ) ( ) ( ) t ( ) x + ψ x x x = (x, ψ) = ψ ψ ψ ( ) t ( ) (x ) + (ψ ) = x ψ x ψ 'Omwc ProkÔptei: ( x ψ ) t ( x ψ ( ) ( ) ( ) t ( ) ( ) t x x x x = P = P t x ψ ψ ψ ψ ψ ) ( ) t ( ) ( ) t ( ) ( ) t ( ) x = P t x x P kai P t x x x P = ψ ψ ψ ψ ψ ψ Gia na isqôei h isìthta prèpei P t P = I. 'Enac tètoioc pðnakac onomˆzetai ORJOGWNIOS [ ] [ ] [ ] α γ α β 1 0 = β δ γ δ 0 1 oc trìpoc Prèpei x = αx + βψ ψ = γx + δψ α + γ = 1 β + δ = 1 αβ + γδ = 0 αδ βγ 0 IDIOTHTES TOU P } (x ) + (ψ ) = (αx + βψ) + (γx + δψ) = x + ψ
19 19 P t P = I det(p t P ) = 1 kai det(p t ) = det(p ) 'Ara (det(p )) = 1 det(p ) = ±1 P t = P, P 1 P = I, P P 1 = I PARADEIGMA 1 { i, j}, { i = i, j = j} i = 1 i + 0 j j = 0 i + 1 j ( ) ( ) 1 0 Tìte P = kai P t 1 0 = kai P = I, detp = j i PARADEIGMA j i i = (cos φ) i + (sin φ) j j = cos(φ + π ) i + sin(φ + π ) j detp = 1 me P 1 = 'Ara P P t = I. [ cos φ sin φ ] sin φ cos φ = sin φ i + cos φ j [ ] [ ] [ ] x = P t x cos φ sin φ ψ ìpou P eðnai o pðnakac strof P = ψ sin φ cos φ TUPOS ALLAGHS SUNTELESTWN wc proc thn STROFH: PARADEIGMA 3: An T = [ cos φ sin φ x = cos θx + sin θψ ψ = sin θx + cos θψ ] sin φ tìte T t = cos φ [ cos φ sin φ ] [ ] sin φ, T T t 1 0 = cos φ 0 1
20 0 'Ara o PINAKAS T eðnai ORJOGWNIOS (AA t = I). 'Omwc èqei mða basik DIAFORA me ton P : det(t ) = 1. 'Ara DEN eðnai STROFH (ìloi oi orjog nioi pðnakec den eðnai STRO- FES). [ det(t ) = 1, T 1 = T. cos φ sin φ ] [ ] sin φ 1 0 = cos φ 0 1 [ cos φ sin φ strof,katoptrismìc ] sin φ = T cos φ ALLA SUSTHMATA [ ALLOI PINAKES ] cos θ sin θ PARATHRHSH: P (θ) = sin θ cos θ {P (θ) : θ R} = PINAKES STROFHS AFHRHMENH MELETH APODEIXH: {{P (θ) : θ R}, pollaplasiasmìc pinˆkwn} P (0) = I P ( θ) = ( P (θ) ) t = ( P (θ) ) 1 P ( θ) = P (θ) 1 P (θ 1 ) P (θ ) = P (θ 1 + θ ) ApoteleÐ mða PROSJETIKH } DOMH {{ OMADA }. TELIKO ERWTHMA: PoioÐ eðnai OLOI oi pðnakec Θ : Θ Θ t = I Prèpei na lôsoume to sôsthma α + γ = 1 β + δ = 1 (Σ) αβ + γδ = 0 αδ βγ 0 α, β, γ, δ R UPODEIXH: Xekinˆme apì thn 3 h kai lônoume me ˆgnwsto to β. PaÐrnoume peript seic gia ton suntelest α (α = 0, α 0) kai qwrðc blˆbh thc genikìthtac jewroôme α 0 opìte β = γ α δ. Jètoume sthn h ìpou β to Ðson tou. β + δ = 1 ( γ α δ) + δ = 1 α = δ ASKHSH 1 Sto R kai wc proc èna ORJOKANONIKO SUSTHMA Oxψ dðnetai to uposônolo C = {(x, ψ) R xψ = 1 } E = 1
21 1 Na brejeð h morf tou C wc proc to orjokanonikì sôsthma pou prokôptei apì to Oxψ me strof π 4. Zhtˆme C = {(x, ψ ) R?} x = cos π 4 x sin π 4 ψ = x ψ ψ = sin π 4 x + cos π 4 ψ = x + ψ Opìte 1 = xψ 1 = (x ψ )(x + ψ ) ( = (x ) (ψ ) ) (E ) : (x ) (ψ ) = 1 ISOSKELHS UPERBOLH C = {(x, ψ ) R (x ) (ψ ) = 1} PARATHRHSH: oi (E) kai (E ) eðnai ou BAJMOU. DIATHRHSH GWNIAS sta DIAFORA ORJOKANIKA SUSTHMATA. ASKHSH ( ψ = λ 1 x + µ ψ = λ x + µ ) Oxψ me lezˆnta Π = tan ω Π = λ λ λ 1 λ ìpou λ 1 λ 1. N.d.o. h Π DEN ALLZEI sta diˆfora orjokanonikˆ sust mata. GEWMETRIA EPIPEDOU 1. Anafèretai se orjokanonikˆ sust mata. Meletˆei idiìthtec pou isqôoun se OLA ta orjokanonikˆ sust mata LUKEIO/GEWMETRIA meletˆei m kh, gwnðec ANALUTIKH GEWMETRIA twn ORJOKANONIKWN SUSTHMATWN GEWMETRIA sto QWRO q roc (shmeða, eujeðec, epðpeda), (StereometrÐa: BiblÐo B LUKEIOU)
22 BASIKA AXIWMATA - 'Ola ta Axi mata tou Epipèdou isqôoun - Kˆje trða shmeða MH SUNEUJEIAKA orðzoun èna epðpedo - DÔo epðpeda pou èqoun èna koinì shmeðo èqoun kai mia koin eujeða - An mia EUJEIA èqei dôo koinˆ shmeða me èna epðpedo ìla thc ta shmeða eðnai to epðpedo - Sto q ro upˆrqoun 4 SHMEIA MH SUNEUJEIAKA
23 3 BASIKES ENNOIES sto QWRO SHMEIO-EUJEIA-EPIPEDO kai oi METAXU TOUS SQESEIS upˆrqoun toulˆqiston 4 mh sunepðpeda shmeða TrÐa MH SUNEUJEIAKA shmeða orðzoun akrib c èna epðpedo PORISMA Mia eujeða kai èna shmeðo ektìc aut c orðzoun èna epðpedo DÔo temnìmenec eujeðec orðzoun èna epipedo DÔo epðpeda me trða koinˆ shmeða tautðzontai. SQETIKH JESH DUO EPIPEDWN 1. Na mhn èqoun kanèna koinì shmeðo.. Na èqoun èna koinì shmeðo opìte èqoun mða koin eujeða () 3. Na sumpðptoun SQETIKH JESH DUO EUJEIWN STO QWRO 1. Na eðnai parˆllhlec, opìte brðskontai sto IDIO EPIPEDO. Na èqoun èna koinì shmeðo opìte orðzoun èna epðpedo () 3. AsÔmbatec eujeðec (oôte parˆllhlec, oôte temnìmenec, den upˆrqei epðpedo pou na tic perièqei). APODEIXH thc UPARXHS ASUMBATWN EUJEIWN 'Estw trða shmeða A, B, Γ Π kai / Π (Ta A, B, Γ eðnai MH SUNEJEIAKA) Ta B, Γ orðzoun mða (ε 1 ) Ta, A orðzoun mða (ε ). Oi (ε 1 ) kai (ε ) eðnai ASUMBATES giatð ta A, B, Γ, eðnai MH SUNEPIPEDA. KAJETOTHTA EUJEIAS kai EPIPEDOU (ε) (Π) ORISMOS A: Ðqnoc thc (ε) sto (Π) ( o pouc thc (ε) sto (Π)) Apì to A dièrqontai 1,, 3 eujeðec tou (Π) Lème tìte ìti (ε) (Π) (ε) (δ) (δ) eujeða tou (Π) pou dièrqetai apì to Ðqnoc A
24 4 (H (ε) me thn 1 dhmiourgoôn èna nèo epðpedo (Π 1 )). ArkeÐ na elegqjoôn mìno dôo eujeðec tou (Π) pou pernˆne apì to Ðqnoc thc (ε), dhlad to shmeðo A. JEWRHMA: An (Π) (ε) = A kai δ 1, δ (Π) me δ 1 δ. (ε) (ε) (Π). A (δ 1 ) (δ ) kai δ 1, δ APODEIXH Jewr shmeðo M (ε) kai M (ε): AM = AM Upìdeixh (δ) tuqaða eujeða tou (Π) AB = AΓ (A BΓ) orðzetai shmeðo (δ). MΓM isoskelèc MBM isoskelèc ArkeÐ na deðxoume ìti to trðgwno M M eðnai isoskelèc. Efarmìzoume () eujèwc kai antistrìfwc (h diˆmesoc eðnai diqotìmoc kai Ôyoc) TRISORJOGWNIO SUSTHMA. JEWRHMA TRIWN KAJETWN (Π), (ε) (Π) (ε) = A (δ) (Π) AB (δ), AB (Π) M (ε) kai fèrw th MB. 1. An (ε) (Π) MB (δ). An (ε) (Π) kai MB (δ) AB (δ) 3. An MB (δ) kai AB (δ) (ε) (Π) N (δ) kai fèrw thn AN. (ε) (Π). Ta trðgwna (M AN), (M AB) eðnai orjog nia. To trðgwno (ABN) eðnai orjog nio. Prèpei na deðxoume ìti to trðgwno (MBN) eðnai orjog nio sth ˆB. Efarmìzoume PUJAGOREIO JEWRHMA. EISAGWGH OROLOGIA
25 5 ASUMBATWS KAJETES (Π), (ε) (Π) (δ) ( (Π) ) δ δ (ε) (δ) A δ (ε), (δ) (en gènh) ORJOGWNIES (ε 1 ), (ε ) orjog niec (ε 1 ) (ε 1 ) (ε ) (ε ) } (ε 1 ) (ε ) DIATUPWSH An (ε) (Π) tìte h (ε) eðnai orjog nia me kˆje eujeða tou epipèdou. An h (ε) eðnai ORJOGWNIA me dôo eujeðec enìc epipèdou (Π) (ε) (Π). ASKHSH: DÐnetai epðpedo (Π) kai shmeðo A / (Π). Na aqjeð apì to A eujeða (ε) (Π) Efarmìzoume to JEWRHMA twn TRIWN KAJETWN (δ) (Π) H (δ) kai to A orðzoun epðpedo Fèrnw AB (δ). Pˆnw sto (Π) fèrw (x) (δ) opìte h (x) kai h AB orðzoun èna epðpedo. Sto epðpedo pou orðzoun oi (x) AB fèrw AO (x). PARALLAGH To shmeðo A (Π) (µ) (Π) µ, A orðzoun epðpedo fèrw sto (ε) (µ) µ apì to A. PORISMA: Upˆrqoun TRISORJOGWNIA SUSTHMATA Kataskeu : ArqÐzw me èna epðpedo (Π) kai 0 (Π). Fèrw (ε 3 ) (Π) me 0 (ε 3. Jewr (ε 1 ) (Π) kai na dièrqetai apì to O. Fèrw (ε ) (ε 1 ) me (ε (Π). TRISORJOGWNIO SUSTHMA AXONWN ASKHSEIS-EFARMOGES
26 6 ASKHSH1 'Olec oi eujeðec tou q rou pou dièrqontai apì to O kai eðnai kˆjetec sthn eujeða (ε) brðskontai se èna epðpedo (Π) pou onomˆzetai kai eðnai KAJETO EPIPEDO sthn (ε) PORISMA: DÔo epðpeda kˆjeta sthn Ðdia eujeða den èqoun koinˆ shmeða 'Estw ìti èqoun koinì shmeðo K. jewr thn KO kai KO. To KOO ja eðnai trðgwno me orjèc gwnðec. ATOPO! KOINH KAJETOS duo ASUMBATWN p.q. o kôboc èqei anˆ dôo asômbatec me mða koin kˆjeto 'Estw x (ε ) kai fèrw (ε 1 ) (ε 1 ). Jewr O (ε 1 ) kai fèrw OO (Π). Fèrw (ε 1 ) (ε 1 ) ìpou (ε 1 ) an kei sto epðpedo pou perièqei thn (ε 1 ) kai eðnai kˆjeto sthn (ε ).
27 7 GEWMETRIA sto QWRO T sun jhc q roc (perièqei shmeða, eujeðec, epðpeda, tic metaxô touc sqèseic) T = R 3 H TAUTISH gðnetai mèsw tou TRISORJOGWNIOU SUSTHMATOS Epilègoume arq O {O, i, j, κ} Epilègoume AXONES Tìte to tuqaðo M T OM = x M i + ψ M j + z M κ ìpou M(x M, ψ M, z M ). JEWRHMA: Oi suntetagmènec tou ajroðsmatoc eðnai to ˆjroisma twn suntetagmènwn. i = j = κ = 1 Sto R 3 ja bˆloume DOMES 1. Eswterikì ginìmeno. Exwterikì ginìmeno Efìson R 3 = T ja prokôyei eswterikì exwterikì ginìmeno dianusmˆtwn. ESWTERIKO GINOMENO prˆxh metaxô dianusmˆtwn ìpou to apotèlesma eðnai pragmatikìc arijmìc. EÐnai mia APEIKONISH: <, >: R 3 R TUPOS thc <, > < (x 1, x, x 3 ), (ψ 1, ψ, ψ 3 ) >= (x 1 ψ 1 + x ψ + x 3 ψ 3 ) Onomˆzetai kai ANALUTIKH EKFRASH IDIOTHTES(ALGEBRIKES, GEWMETRIKES) thc APEIKONISHS ALGEBRIKES IDIOTHTES < α, β > R 1. < α, β >=< β, α > SUMMETRIKOTHTA. < α + γ, β >=< α, β > + < γ, β } > 3. < λ α, β >= λ < α, β DIGRAMMIKOTHTA > λ R 4. < α, α > 0 kai < α, α >= 0 α = 0 JETIKA ORISMENO APODEIXH: α(x, ψ, z) = x + ψ + z 0 kai x + ψ + z = 0 α = 0
28 8 APEIKONISH NORMA Me th bo jeia tou ESWTERIKOU GINOMENOU, orðzw mia APEIKONISH : R 3 R me tôpo α = < α, α > Thn APEIKONISH aut thn onomˆzw NORMA. afoô to < α, α > 0 α R 3 mpor na bˆlw rðza. IDIOTHTES 1. α 0, α = 0 α = 0. λ α = λ α, λ R APODEIXH: λ α =< λ α, λ α >= λ λ < α, α >= λ < α, α >= λ α 3. α + β} α + β (trigwnik anisìthta) metrˆei m kh dianusmˆtwn APODEIXH: jewr th sunˆrthsh φ(λ) = α + λβ IsqÔei φ(λ) 0 R AnaptÔssoume: φ(λ) =< α + λβ, α + λβ >=< α, α > +λ < α, β > +λ < β, β > φ(λ) = ( β )λ + ( < α, β >)λ + α. DiakrÐnoume peript seic: (i) β = 0 β = 0 ˆra h IDIOTHTA (3) isqôei (ii) β = 0 φ(λ) tri numo kai gðnetai pˆnta omìshmo tou ( β ) 4 0 dhl. 4(< α, β >) 4 α β 0 4 < α, β > α β majhmatikˆ sumpðptei me thn IDIOTHTA (3) IDIOT.(3): α + β ( α + β ) < α + β, α + β > α + β + α β < α, α > + < α, β > + < β, β > α + β + α β < α, β > α β < α, β > < α, β > α β < α, β > α β An α, β 0 tìte < α, β > α β 1 SumperaÐnoume : NORMA MHKOS DIANUSMATOS APOSTASH DUO SHMEIWN ston R 3 = T
29 9 'Estw M, N T tìte anazhtoôme d(m, N) Epilègoume to sôsthma {0, i, j, κ} M OM = α(x 1, ψ 1, z 1 ) N ON = β(x, ψ, z ) MN ON OM = (x x 1, ψ ψ 1, z z 1 ) d(m, N) = β α = (x x 1 ) + (ψ ψ 1 ) + (z z 1 ) H d(m, N) eðnai METRIKH 1. d(m, N) 0, d(m, N) = 0 M N. d(m, N) = d(n, M) 3. d(m, N) d(m, K) + d(k, N) APODEIXH: d(m, N) = β α kai èstw OK = (x 3, ψ 3, z 3 ) = γ d(m, N) = β α = β γ + γ α β γ + γ α = d(m, K) + d(k, N) 'Ara d(m, N) d(m, K) + d(k, N). ASKHSH 1. α + β + α β = [ α + β ]. < α, β >= 1 4 [ α + β α β ] LUSH 1 NOMOS PARALLHLOGRAMMOU α + β =< α + β, α + β >= < α, α > + < α, β > + < β, β >= α + < α, β > + β α β = α < α, β > + β TI SHMAINEI < α, β >= 0 < α, β >= 0 PUJAGOREIO JEWRHMA {}}{ α + β = α + β APODEIXH: α + β = α + β apì thn prohgoômenh ˆskhsh. 'Ara α, β ORJOGWNIA. GEWMETRIKH EKFRASH ESWTERIKOU GINOMENOU
30 30 Qreiazìmaste thn ènnoia gwnða PUJAGOREIO (AB) = (OA) +(OB) (OA)(OB) cos φ ìpou (AB) APOSTASH (AB) (d(a, B)) = (d(o, A)) + (d(o, B)) (d(o, A))(d(O, B)) cos φ 'Omwc (d(a, B)) = AB = OB OA (d(o, A)) = OA (d(o, B)) = OB ProkÔptei: OB OA }{{} = OA + OB OA OB cos φ OA + OB < OA, OB >= OA + OB OA OB cos φ < OA, OB >= OA OB cos φ GEWMETRIKH EKFRASH < OA, OB > OA, OB 0 cos φ = OA OB Sqìlio: < α, β > α β < α, β > α β 1 θ (0, π) : cos θ = < α, β > α β ìpou θ h gwnða twn dianôsmatwn α, β H seirˆ twn α, β den paðzei rìlo giatð cos θ = cos( θ).
31 31 (R 3, < >) α(x 1, ψ 1, z 1 ), β(x, ψ, z ) < α, β >= (x 1 x + ψ 1 ψ + z 1 z ) ORJES PROBOLES DIANUSMATOS se AXONA PROBLHMA: DÐnetai èna α R 3 kai β R 3. ZhteÐtai na grafeð to β sth morf β = β 1 + β ìpou β 1 α kai β eðnai ORJOGWNIO me to α. Anˆlush: (I) Gia thn kataskeu tou toc qrhsimopoðhsa to epðpedo pou orðzoun ta α, β (II) Gia α, β me α 0 β = β 1 + β β 1 = λ α < β, α >= 0 Gl ssa thc analutik c gewmetrðac α (I) α = α 0 dianusmatik monˆda pou orðzei to α α 1 = α = 1, NORMA MHKOS DIANUSMATOS ( METRO DIANUSMATOS) α α β 1 = β cos φ β 1 = β α cos φ (1), ìpou α dianusmatik monˆda pou orðzei to α α. GnwrÐzoume ìti: < α, β >= α β cos φ. 'Ara h sqèsh (1) grˆfetai β 1 = < α, β > α (II) eðnai ALGEBRIKO SUSTHMA sth DOMH (R 3, <, >). α, β α 0 β = λ α + β β = β λ α β = β 1 + β opìte β 1 = λ α, λ R < β, α >=< β λ α, α >= 0 < β, α >= 0 < α, β > < α, λ α >= 0 < α, β >= λ < α, α > Epeid α 0 < α, α > 0. 'Ara λ = < α, β > < α, α > λ = < α, β > α α
32 3 Tìte β 1 = < α, β > < α, α > α kai β = β < α, β > < α, α > α Exetˆzoume an upˆrqoun ˆllec lôseic An β = β 1 + β kai β = β 1 + β ìpou { β1, β 1 α β, β α Tìte β 1 β 1 }{{} w 1 α = β β }{{} w α UpologÐzoume to eswterikì ginìmeno: < w 1, w > < w 1, w >=< β 1 β 1, β β >= 0 β 1 β 1 = 0 β 1 = β 1 TO EXWTERIKO GINOMENO sto QWRO R 3 PROBLHMA: DÐnontai α, β mh suggrammikˆ stoiqeða tou R 3. ZhteÐtai c, c 0 kai na eðnai kˆjeto sto epðpedo twn α, β. EPIPEDO POU ORIZOUN duo MH SUGGRAMIKA DIANUSMATA (Π) = L({ α, β}) = {ρ α + σβ, ρ, σ R} eðnai GRAMMIKOS SUNDUAsq ma SMOS mh SUGGRAMIKWN DIANUSMATWN DIANUSMA se EPIPEDO (Π) an < c, α >=< c, β >= 0 c (Π). Prˆgmati tìte < c, ρ α + σ β >= ρ < c, α > +σ < c, β >= 0. ArkeÐ loipìn na eðnai ORJOGWNIO sta α, β. EpilÔoume to SUSTHMA < c, α >=< c, β >= 0. 'Estw α = (x 1, ψ 1, z 1 ) kai β = (x, ψ, z ) kai c = (x, ψ, z). } { < c, α >= 0 < c, β >= 0 α β x 1 x + ψ 1 ψ + z 1 z = 0 x, ψ, z =? x x + ψ ψ + z z = 0 [ ] x [ ] x 1 ψ 1 z 1 0 ψ = AX = B x ψ z 0 z ranka = giatð α β α, β grammikˆ anexˆrthta. UPOORIZOUSA D 0 x 1 ψ 1 x 1 ψ 0
33 33 Tìte dhmiourgoôme sôsthma me agn stouc. ( ) x 1 x + ψ 1 ψ = z 1 z ProkÔptei to diˆnusma c x x + ψ ψ = z z z 1 z ψ 1 D x = z z ψ x = D x D, ψ = D ψ D D ψ = x 1 x z 1 z z z z 1 ψ 1 x 1 z 1 D x = z D ψ = z z ψ x z D = x 1 ψ 1 x ψ ψ 1 z 1 x 1 z 1 ψ z x z x = x 1 ψ z ψ = 1 x 1 ψ z, z R 1 x ψ x ψ c = (x, ψ, z) c = ( D x D, D ψ D, z) ( ψ 1 z 1 c = κ ψ z, x 1 z 1 x z, x 1 ψ ) 1 x ψ Sumpèrasma: to diˆnusma c α, β eðnai to pollaplˆsio tou (D x, D ψ, D) ORISMOS Sto R 3 orðzetai mia EXWTERIKH PRAXH X : R 3 R 3 R 3 wc ex c ( α, β) ( α β) pou onomˆzetai exwterikì ginìmeno twn α, β kai an jewr sw ORJOKANONIKO SUSTHMA SUNTETAGMENWN { i, j, κ} ìpou α = a 1 i + a j + a 3 κ β = β 1 i + β j + β 3 κ tìte to α β = γ 1 i+γ j+γ 3 κ ìpou ta γ 1, γ, γ 3 prokôptoun apì to anˆptugma thc ORIZOUSAS i j κ α 1 α α 3 wc proc thn pr th gramm β 1 β β 3 α β = α α 3 β β 3 α 1 α 3 i β 1 β 3 j + α 1 α β 1 β κ γ 1 γ γ 3
34 34 i j = κ i j ìpou i(1, 0, 0) j = (0, 1, 0). 'Ara j κ = i κ i = j 'Ara α β = c kai sth jèsh pollaplasðou h monˆda. EXWTERIKO GINOMENO R 3 {0, i, j, κ} ORJOKANONIKO α = α 1 i + α j + α κ β = β 1 i + β j + β 3 κ tìte α β = i j κ α 1 α α 3 β 1 β β 3 α β = ( (α β 3 β α 3 ) i (α 3 β 1 α 1 β 3 ) j + (α 1 β α β 1 ) κ ) α β = α α 3 β β 3 α 1 α 3 i β 1 β 3 j + α 1 α β 1 β κ IDIOTHTES EXWTERIKOU GINOMENOU 1 h LISTA: ALGEBRIKES IDIOTHTES 1. α α = 0, α 0 = 0 α R. α β = β α (ANTISUMMETRIKH IDIOTHTA) 3. α ( β + c) = ( α β) + ( α c) 4. λ( α β) = (λ α β) = α (λ β) APODEIXEIS: α β i j κ = α 1 α α 3 β 1 β β 3 1. ìpou β to α orðzousa me Ðdiec grammèc=mhdenik. antimetˆjesh gramm n stic orðzousec 3. kai 4. ˆmmesa apì thn grammikìthta thc orðzousac PROSOQH: α β = ( β α) h seirˆ tou ginomènou paðzei rìlo....ja sundejeð me th forˆ diagraf c. h LISTA IDIOTHTWN: 1. < α β, c >= det{ α, β, c}. ( α β) c =< α, c > β < β, c > α
35 35 3. α β = α β ( α, β >) D 1 D D 3 1) α β α α 3 = β β 3 i α 1 α 3 β 1 β 3 α 1 α j + β 1 β κ, c = γ 1i + γ j + γ 3 κ < α β, c >= γ 1 D 1 i γ D j + γ 3 D 3 κ < α β, γ 1 γ γ 3 c >= α 1 α α 3 = det{ α, β, c} det{ α, β, c} β 1 β β 3 < α β, α 1 α α 3 c >= β 1 β β 3, opìte < α β, c >= < β α, c > γ 1 γ γ 3 p.q. < β c, α >= det{ β, c, α} = det{ β, α, c} = det{ α, β, c} ) ( α β) c =< α, c > β < β, c > α α = α 1 i + α j + α 3 κ ìpou β = β 1 i + β j + β 3 κ kˆnoume prˆxeic...kai pistopoðhsh. α = γ 1 i + γ j + γ 3 κ Prèpei na broôme se poio epðpedo brðsketai to ( α β) c to opoðo ja eðnai kˆjeto sto α β kai sto c. 3) α β =< α β, α β >=< α, β ( α β) >= < α, ( α β) β >= < α, < α, β > β < β, β > α >= < α, < α, β > β > + < α, < β, β > α >= < α, β >< α, β > + < α, α >< β, β > afoô < u v, w >=< u, v w >. 'Ara α β = α β (< α, β >) α β = α β α β cos φ = (1 cos φ) α β = sin φ α β, ìpou φ h gwnða pou sqhmatðzoun ta α, β. 'Ara, α β = α β sin φ (giatð φ [0, π]) GEWMETRIKH EKFRASH EXWTERIKOU GINOMENOU α, β tìte α β: 1. α β = α β sin φ (METRO). α β sto epðpedo twn α, β (DIEUJUNSH) 3. FORA: jewroômc ta sust mata { i, j, κ} 1 h BASH kai { α, β, α β} h BASH
36 36 PINAKAS ALLAGHS BASHS α 1 α α 3 det β 1 β β 3 > 0 γ 1 γ γ 3 OrÐzei ton Ðdio prosanatolismì me to { i, j, κ}. =< α β, α β > α β = α β (< α, β >) An α = α 1 i + α j + α 3 κ, β = β 1 i + β j + β 3 κ tìte α = α 1 + α + α 3 = 3 i=1 α i opìte EpÐshc EpÐshc α β = α β α α 3 = β β 3 β = < α, β >= 3 i=1 α i 3 i=1 β i 3 α i β i i=1 3 βi ( i=1 α 1 α 3 + β 1 β 3 3 α i β i ) i=1 α 1 α + β 1 β = i<j D ij i<j D ij = 3 3 i=1 α i i=1 β i ( 3 i=1 α iβ i ) 0 TAUTOTHTA Lagrange ProkÔptei ( α i )( β i ) ( α i β i ) α i β i α i β i ANISOTHTA CAUCHY < x, ψ > x ψ gia eswterikì ginìmeno EFARMOGH 1: GEWMETRIKH ERMHNEIA METROU EXWTERIKOU GINOMENOU, EMBADON PARALLHLOGRAMMOU
37 37 E = bˆsh Ôyoc ìpou bˆsh= α kai Ôyoc= b sin φ Tìte E = α b sin φ, φ [0, π] Dhlad E = α b EFARMOGH : GEWMETRIKH ERMHNEIA METROU MIKTOU GINOMENOU < α b, c >= det{ α, b, c} OGKOS PARALLHLEPIPEDOU MIKTO GINOMENO ENNOIA thc PROBOLHS prob u v = < u, v > < u, u > u v = u 1 + u u 1 u, u u ORJH PROBOLH ENNOIA OGKOS PARALLHLEPIPEDOU ParallhlepÐpedo: { a, b, c} ìpou a, b, c mh suggramikˆ V ( a, b, c) = (embadìn bˆshc) (Ôyoc) ìgkoc tou P. Ôyoc = m koc (prob a b c) embadìn bˆshc = a b AnazhtoÔme prob a b c = or. < c, a b > < a b, a b > ( a b) < c, a b > a a b = < c, a b > b a b 'Ara Ôyoc = < c, a b > a b 'Ara 'Ara V ( a, b, c) = embadìn bˆshc Ôyoc = a b < c, a b > a b V ( a, b, c) = < c, a b > APOLUTH TIMH MIKTOU GINOMENOU SUGGRAMMIKOTHTA TRIWN DIANUSMATWN SUNJHKH SUGGRAMMIKOTHTAS TRIWN DIANUSMATWN 3 dianôsmata eðnai sunepðpeda ìtan to miktì ginìmeno eðnai mhdèn < a b, c >= 0 det{ a, b, c} = 0
38 38 Ti deðqnei h orðzousa an eðnai mhdèn: ta a, b, c eðnai sunepðpeda Ti deðqnei h orðzousa an den eðnai mhdèn: ton ìgko V ( a, b, c) H orðzousa sundèetai me ton ìgko. EMBADON TRIGWNOU (apì to EXWTERIKO GINOMENO) 'Estw ta shmeða A(x A, ψ A, z A ), B(x B, ψ B, z B ), Γ(x Γ, ψ Γ, z Γ ) emb(abγ) EMB(ABΓ) = 1 AB AΓ i j κ x B x A ψ B ψ A z B z A EMB(ABΓ) = 1 (Dψz ) + (D xz ) + (D xψ ) x Γ x A ψ B ψ Γ z Γ z A
PANEPISTHMIO DUTIKHS ATTIKHS SQOLH MHQANIKWN TMHMA POLITIKWN MHQANIKWN ANWTERA MAJHMATIKA II DIAFORIKES EXISWSEIS DEUTERHS KAI ANWTERHS TAXHS
PANEPISTHMIO DUTIKHS ATTIKHS SQOLH MHQANIKWN TMHMA POLITIKWN MHQANIKWN ANWTERA MAJHMATIKA II DIAFORIKES EXISWSEIS DEUTERHS KAI ANWTERHS TAXHS 1. Grammikèc diaforikèc exis seic deôterhc kai an terhc tˆxhc
Διαβάστε περισσότεραΤίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι
Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι Ενότητα: Θέματα Εξετάσεων Όνομα Καθηγητή : Ανδρέας Αρβανιτογεώργος Τμήμα: Μαθηματικών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative
Διαβάστε περισσότεραΤίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ
Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Ο δυϊκός χώρος Όνομα Καθηγητή: Ανδρέας Αρβανιτογεώργος Τμήμα: Μαθηματικών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.
Διαβάστε περισσότεραSUNARTHSEIS POLLWN METABLHTWN. 5h Seirˆ Ask sewn. Allag metablht n sto diplì olokl rwma
PANEPISTHMIO DUTIKHS ATTIKHS SQOLH MHQANIKWN TMHMA POLITIKWN MHQANIKWN ANWTERA MAJHMATIKA II SUNARTHSEIS POLLWN METABLHTWN 5h Seirˆ Ask sewn Allag metablht n sto diplì olokl rwma Jèma. Qrhsimopoi ntac
Διαβάστε περισσότεραΤίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ
Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Διγραμμικές και Τετραγωνικές μορφές Όνομα Καθηγητή: Ανδρέας Αρβανιτογεώργος Τμήμα: Μαθηματικών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες
Διαβάστε περισσότερα9. α 2 + β 2 ±2αβ. 10. α 2 ± αβ + β (1 + α) ν > 1+να, 1 <α 0, ν 2. log α. 14. log α x = ln x. 19. x 1 <x 2 ln x 1 < ln x 2
UpenjumÐseic gia thn Jetik kai Teqnologik KateÔjunsh Kajhght c: N.S. Maurogi nnhc 1 Tautìthtec - Anisìthtec 1. (α ± ) = α ± α +. (α ± ) 3 = α 3 ± 3α +3α ± 3 3. α 3 ± 3 =(α ± ) ( α α + ) 4. (α + + γ) =
Διαβάστε περισσότεραPANEPISTHMIO DUTIKHS ATTIKHS SQOLH MHQANIKWN TMHMA POLITIKWN MHQANIKWN ANWTERA MAJHMATIKA II SUNARTHSEIS POLLWN METABLHTWN.
PANEPISTHMIO DUTIKHS ATTIKHS SQOLH MHQANIKWN TMHMA POLITIKWN MHQANIKWN ANWTERA MAJHMATIKA II SUNARTHSEIS POLLWN METABLHTWN h Seirˆ Ask sewn Akrìtata pragmatik n sunart sewn 1. Na brejoôn ta topikˆ akrìtata
Διαβάστε περισσότεραShmei seic sto mˆjhma Analutik GewmetrÐa
Shmei seic sto mˆjhma Analutik GewmetrÐa Didˆskwn: Lˆppac D. Ejnikì Kapodistriakì Panepist mio Ajhn n B' MEROS 3 EPIFANEIES sto QWRO Epifˆneia gia thn perigraf thc qreiˆzontai dôo parˆmetroi mia eidik
Διαβάστε περισσότεραDiakritˆ Majhmatikˆ I. Leutèrhc KuroÔshc (EÔh Papaðwˆnnou)
Diakritˆ Majhmatikˆ I Leutèrhc KuroÔshc (EÔh Papaðwˆnnou) PlhroforÐec... Tetˆrth, 09.00-11.00, Paraskeu, 18.00-20.00 SÔggramma 1: Λ. Κυρούσης, Χ. Μπούρας, Π. Σπυράκης. Διακριτά Μαθηματικά: Τα Μαθηματικά
Διαβάστε περισσότεραPANEPISTHMIO DUTIKHS ATTIKHS SQOLH MHQANIKWN TMHMA POLITIKWN MHQANIKWN ANWTERA MAJHMATIKA II DIAFORIKES EXISWSEIS.
PANEPISTHMIO DUTIKHS ATTIKHS SQOLH MHQANIKWN TMHMA POLITIKWN MHQANIKWN ANWTERA MAJHMATIKA II DIAFORIKES EXISWSEIS 6h Seirˆ Ask sewn OmogeneÐc grammikèc diaforikèc exis seic me stajeroôc suntelestèc Jèma
Διαβάστε περισσότεραSofÐa ZafeirÐdou: GewmetrÐec
Tm ma Majhmatik n Panepist mio Patr n Bohjhtikèc Shmei seic gia to mˆjhma GewmetrÐec SofÐa ZafeirÐdou Anaplhr tria Kajhg tria Pˆtra 2018 Oi shmei seic autèc grˆfthkan gia tic anˆgkec tou maj matoc GewmetrÐa.
Διαβάστε περισσότερα25 OktwbrÐou 2012 (5 h ebdomˆda) S. Malefˆkh Genikì Tm ma Majhmatikˆ gia QhmikoÔc
Mˆjhma 9 0 25 OktwbrÐou 2012 (5 h ebdomˆda) Diaforikèc Exis seic TÔpoi Diaforik n exis sewn H pio apl diaforik exðswsh y = f (x) Diaforikèc Exis seic TÔpoi Diaforik n exis sewn H pio apl diaforik exðswsh
Διαβάστε περισσότεραPANEPISTHMIO DUTIKHS ATTIKHS SQOLH MHQANIKWN TMHMA POLITIKWN MHQANIKWN ANWTERA MAJHMATIKA II DIAFORIKES EXISWSEIS.
PANEPISTHMIO DUTIKHS ATTIKHS SQOLH MHQANIKWN TMHMA POLITIKWN MHQANIKWN ANWTERA MAJHMATIKA II DIAFORIKES EXISWSEIS h Seirˆ Ask sewn Diaforikèc eis seic > diaforikèc
Διαβάστε περισσότεραAnaplhrwt c Kajhght c : Dr. Pappˆc G. Alèxandroc PANEPISTHMIO DUTIKHS ATTIKHS SQOLH MHQANIKWN TMHMA POLITIKWN MHQANIKWN ANWTERA MAJHMATIKA I
PANEPISTHMIO DUTIKHS ATTIKHS SQOLH MHQANIKWN TMHMA POLITIKWN MHQANIKWN ANWTERA MAJHMATIKA I. Aìristo Olokl rwma 2. Orismèno Olokl rwma 3. Diaforetik èkfrash tou aìristou oloklhr matoc H Sunˆrthsh F ()
Διαβάστε περισσότεραPANEPISTHMIO DUTIKHS ATTIKHS SQOLH MHQANIKWN TMHMA POLITIKWN MHQANIKWN ANWTERA MAJHMATIKA II SUNARTHSEIS POLLWN METABLHTWN EPIKAMPULIA OLOKLHRWMATA
PANEPISTHMIO DUTIKHS ATTIKHS SQOLH MHQANIKWN TMHMA POLITIKWN MHQANIKWN ANWTERA MAJHMATIKA II SUNARTHSEIS POLLWN METLHTWN EPIKAMPULIA OLOKLHRWMATA 1. EpikampÔlio Olokl rwma 1ou eðdouc Efarmogèc 2. Dianusmatikˆ
Διαβάστε περισσότεραPragmatik Anˆlush ( ) TopologÐa metrik n q rwn Ask seic
Pragmatik Anˆlush (2010 11) TopologÐa metrik n q rwn Ask seic Omˆda A' 1. 'Estw (X, ρ) metrikìc q roc kai F, G uposônola tou X. An to F eðnai kleistì kai to G eðnai anoiktì, deðxte ìti to F \ G eðnai kleistì
Διαβάστε περισσότεραΕφαρμοσμένα Μαθηματικά για Μηχανικούς
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά για Μηχανικούς Σημειώσεις: Δειγματοληψία Γιώργος Τζιρίτας Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών Kefˆlaio 5 DeigmatolhyÐa 'Estw èna sônolo periodikˆ
Διαβάστε περισσότεραΕφαρμοσμένα Μαθηματικά για Μηχανικούς
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά για Μηχανικούς Σημειώσεις: Μετασχηματισμός Laplace Γιώργος Τζιρίτας Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών Kefˆlaio 8 Metasqhmatismìc Laplace 8. Orismìc
Διαβάστε περισσότεραGENIKEUMENA OLOKLHRWMATA
PANEPISTHMIO DUTIKHS ATTIKHS SQOLH MHQANIKWN TMHMA POLITIKWN MHQANIKWN ANWTERA MAJHMATIKA I GENIKEUMENA OLOKLHRWMATA Anplhrwt c Kjhght c: Dr. Pppˆc G. Alèndroc GENIKEUMENA OLOKLHRWMATA H ènnoi tou orismènou
Διαβάστε περισσότεραDiˆsthma empistosônhc thc mèshc tim c µ. Statistik gia Hlektrolìgouc MhqanikoÔc EKTIMHSH EKTIMHSH PARAMETRWN - 2. Dhm trhc Kougioumtz c.
Statistik gia Hlektrolìgouc MhqanikoÔc EKTIMHSH PARAMETRWN - 2 6 Maòou 2010 EktÐmhsh Diast matoc empistosônhc Melet same thn ektim tria ˆθ paramètrou θ: An gnwrðzoume thn katanom thc X kai eðnai F X (x;
Διαβάστε περισσότεραΕφαρμοσμένα Μαθηματικά για Μηχανικούς
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά για Μηχανικούς Σημειώσεις: Μετασχηματισμός Z Γιώργος Τζιρίτας Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών Kefˆlaio 7 Metasqhmatismìc Z 7. Orismìc tou metasqhmatismoô
Διαβάστε περισσότεραAM = 1 ( ) AB + AΓ BΓ+ AE = AΔ+ BE. + γ =2 β + γ β + γ tìte α// β. OΓ+ OA + OB MA+ MB + M Γ+ MΔ =4 MO. OM =(1 λ) OA + λ OB
Peiramatiko Lukeio Euaggelikhc Sqolhc Smurnhc Taxh B, Majhmatika Jetikhc kai Teqnologikhc Kateujunshc, Askhseic Kajhght c: Shmei seic gia sqolik qr sh. MporoÔn na anaparaqjoôn kai na dianemhjoôn eleôjera
Διαβάστε περισσότερα6h Seirˆ Ask sewn. EpikampÔlia oloklhr mata
PANEPISTHMIO DUTIKHS ATTIKHS SQOLH MHQANIKWN TMHMA POLITIKWN MHQANIKWN ANWTERA MAJHMATIKA II SUNARTHSEIS POLLWN METLHTWN 6h Seirˆ Ask sewn EpikampÔlia oloklhr mata 1 Jèma 1. Na upologisjeð to epikampôlio
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ. Μηχανική Μάθηση. Ενότητα 10: Θεωρία Βελτιστοποίησης. Ιωάννης Τσαμαρδίνος Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Μηχανική Μάθηση Ενότητα 10: Θεωρία Βελτιστοποίησης Ιωάννης Τσαμαρδίνος Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών To genikì prìblhma, na broôme to mègisto elˆqisto miac sunˆrthshc
Διαβάστε περισσότερα11 OktwbrÐou 2012. S. Malefˆkh Genikì Tm ma Majhmatikˆ gia QhmikoÔc
Mˆjhma 7 0 11 OktwbrÐou 2012 Orismìc sunart sewn mèsw orismènwn oloklhrwmˆtwn To orismèno olokl rwma prosfèrei ènan nèo trìpo orismoô sunˆrthshc afoô to orismèno olokl rwma mia suneqoôc sunˆrthshc f (t),
Διαβάστε περισσότερα1 η Σειρά Ασκήσεων Θεόδωρος Αλεξόπουλος. Αναγνώριση Προτύπων και Νευρωνικά Δίκτυα
Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Αναγνώριση Προτύπων και Νευρωνικά Δίκτυα η Σειρά Ασκήσεων Θεόδωρος Αλεξόπουλος Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό
Διαβάστε περισσότερα5. (12 i)(3+4i) 6. (1 + i)(2+i) 7. (4 + 6i)(7 3i) 8. (1 i)(2 i)(3 i)
Peiramatiko Lukeio Euaggelikhc Sqolhc Smurnhc Taxh G, Majhmatika Jetikhc kai Teqnologikhc Kateujunshc, Askhseic Kajhght c: Oi shmei seic autèc eðnai gia sqolik qr sh. MporoÔn na anaparaqjoôn kai na dianemhjoôn
Διαβάστε περισσότεραISTORIKH KATASKEUH PRAGMATIKWN ARIJMWN BIBLIOGRAFIA
ΛΟΓΙΣΜΟΣ CALCULUS Διαφορικός Λογισμός, Απειροστικός Λογισμός 1670 1740 Ουράνια Μηχανική Isaac Newton 1648-1727 Gottfried Wilhelm Leibniz 1646-1716 απειροστάπολύ μικρά μεγέθη, άπειροπάρα πολύ μεγάλο, όριο
Διαβάστε περισσότεραAnagn rish ProtÔpwn & Neurwnikˆ DÐktua Probl mata 2
Jeìdwroc Alexìpouloc, Anaplhrwt c Kajhght c Theodoros Alexopoulos, Associate Professor EJNIKO METSOBIO POLUTEQNEIO NATIONAL TECHNICAL UNIVERSITY SQOLH EFARMOSMENWN MAJHMATIKWN KAI DEPARTMENT OF PHYSICS
Διαβάστε περισσότεραJerinì SqoleÐo Fusik c sthn EkpaÐdeush 28 IounÐou - 1 IoulÐou 2010 EstÐa Episthm n Pˆtrac
Kbantik Perigraf tou Kìsmou mac KwnstantÐnoc Sfètsoc Kajhght c Fusik c Genikì Tm ma, Panepist mio Patr n Jerinì SqoleÐo Fusik c sthn EkpaÐdeush 28 IounÐou - 1 IoulÐou 2010 EstÐa Episthm n Pˆtrac Ti ennooôme
Διαβάστε περισσότεραPANEPISTHMIO DUTIKHS ATTIKHS SQOLH MHQANIKWN. Ask seic kai Jèmata sthn Pragmatik Anˆlush I TMHMA POLITIKWN MHQANIKWN
PANEPISTHMIO DUTIKHS ATTIKHS SQOLH MHQANIKWN Ask seic kai Jèmata sthn Pragmatik Anˆlush I TMHMA POLITIKWN MHQANIKWN Anaplhrwt c Kajhght c: Dr. Pappˆc G. Alèandroc Perieqìmena. Sumbolismìc kai OrologÐa..
Διαβάστε περισσότεραAsk seic me ton Metasqhmatismì Laplace
Ask seic me ton Metasqhmatismì Laplace Epimèleia: Gi rgoc Kafentz c Upoy. Didˆktwr Tm m. H/U Panepist mio Kr thc 8 IounÐou 4. 'Estw to s ma { A, t T x(t), alloô () (aþ) Na upologðsete to metasq. Fourier
Διαβάστε περισσότεραMègisth ro - elˆqisth tom
15 DekembrÐou 2009 DÐnetai grˆfoc (N, A) me ìria ro c x ij [b ij, c ij ] gia kˆje akm (i, j) kai dôo epilegmènouc kìmbouc s kai t. Jèloume na upologðsoume th ro sto grˆfo, ste na megistopoieðtai h apìklish
Διαβάστε περισσότεραΚλασσική Ηλεκτροδυναμική II
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Κλασσική Ηλεκτροδυναμική II Πεδία Σημειακών Φορτίων Διδάσκων : Καθ. Κ. Ταμβάκης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative
Διαβάστε περισσότεραf(x) =x x 2 = x x 2 x =0 x(x 1) = 0,
NÐkoc E. AggourÐdhc To Je rhma tou Sarkovskii Panepist mio Kr thc Tm ma Majhmatik n 2 Thn kritik epitrop apotèlesan oi Ajanasìpouloc KwnstantÐnoc Katsoprin khc Emmanou l Kwst khc Ge rgioc (epiblèpwn) touc
Διαβάστε περισσότεραÈ Ö Ñ Ø Ó ÄÙ Ó Ù Ð ËÕÓÐ ËÑÙÖÒ Ì Ü Å Ñ Ø Â Ø Ì ÕÒÓÐÓ Ã Ø Ù ÙÒ Ë Ñ Û Â ÛÖ Ã Ø ÆºËº Å ÙÖÓ ÒÒ Ç Ñ ô ÙØ Ò ÕÓÐ ÕÖ º ÅÔÓÖÓ Ò Ò Ò Ô Ö Õ Ó Ò Ò Ò Ñ Ó Ò Ð Ö Ö¹ Ò Ñ Ò ÐÐ Ü ÑÓÖ ØÓÙº ØÓÒ Ô Ö ÓÖ Ñ ØÛÒ Ò Ô Ù ØÛÒ Ð ôò
Διαβάστε περισσότεραEukleideiec Gewmetriec
Eukleideiec Gewmetriec 1. Ta stoiqeða tou EukleÐdh To pio shmantikì biblðo sthn IstorÐa twn Majhmatik n allˆ kai èna apì ta pio shmantikˆ sthn IstorÐa tou anjr pinou politismoô eðnai ta StoiqeÐa tou EukleÐdh.
Διαβάστε περισσότεραEisagwg sthn KosmologÐa
Eisagwg sthn KosmologÐa BasileÐou S. Gerogiˆnnh Kajhght Tm matoc Fusik c PanepisthmÐou Patr n Patra 2009 Kefˆlaio 1 Eisagwgikˆ 1.1 Gwniakì mègejoc, parsèk, ètoc fwtìc O parathrht c tou Sq matoc 1.1 parathreð
Διαβάστε περισσότεραFarkas. αx+(1 α)y C. λx+(1 λ)y i I A i. λ 1,...,λ m 0 me λ 1 + +λ m = m. i=1 λ i = 1. i=1 λ ia i A. j=1 λ ja j A. An µ := λ λ k = 0 a λ k
Kefˆlaio 1 DiaqwrÐzon UperepÐpedo L mma Farkas 1.1 Kurtˆ SÔnola 'Ena uposônolo C tou R n onomˆzetai kurtì an, gia kˆje x,y C kai kˆje λ [0,1], αx+(1 α)y C. An a i, i = 1,2,...,m eðnai dianôsmata ston R
Διαβάστε περισσότεραΑνάλυση ις. συστήματα
Σήματα Συστήματα Ανάλυση ourier για σήματα και συνεχούς χρόνου Λυμένες ασκήσει ις Κνσταντίνος Κοτρόπουλος Τμήμα Πληροφορικής συστήματα Θεσσαλονίκη, Ιούνιος 3 Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται
Διαβάστε περισσότεραStatistik gia PolitikoÔc MhqanikoÔc EKTIMHSH PAR
Statistik gia PolitikoÔc MhqanikoÔc EKTIMHSH PARAMETRWN - 2 8 DekembrÐou 202 t.m. X me mèsh tim µ t.m. X 2 me mèsh tim µ 2 Diaforˆ µ µ 2? [X kai X 2 anexˆrthtec] DeÐgma {x, x 2,..., x n } x DeÐgma {x 2,
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία Πιθανοτήτων και Στατιστική
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Θεωρία Πιθανοτήτων και Στατιστική Ενότητα 3: Συσχέτιση & Γραμμική Παλινδρόμηση Κουγιουμτζής Δημήτρης Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών & Μηχανικών
Διαβάστε περισσότεραΑνάλυση ασκήσεις. συστήματα
Σήματα Συστήματα Ανάλυση Fourier για σήματα και διακριτού χρόνου Λυμένες ασκήσεις Κωνσταντίνος Κοτρόουλος Τμήμα Πληροφορικής συστήματα Θεσσαλονίκη, Ιούνιος 3 Άδειες Χρήσης Το αρόν εκαιδευτικό υλικό υόκειται
Διαβάστε περισσότεραHmiomˆdec telest n sônjeshc kai pðnakec Hausdorff se q rouc analutik n sunart sewn
ARISTOTELEIO PANEPISTHMIO JESSALONIKHS SQOLH JETIKWN EPISTHMWN TMHMA MAJHMATIKWN TOMEAS MAJHMATIKHS ANALUSHS PETROS GALANOPOULOS Hmiomˆdec telest n sônjeshc kai pðnakec Hausdorff se q rouc analutik n sunart
Διαβάστε περισσότεραStatistik gia QhmikoÔc MhqanikoÔc EKTIMHSH PARA
Statistik gia QhmikoÔc MhqanikoÔc EKTIMHSH PARAMETRWN - 2 20 Maòou 200 t.m. X me mèsh tim µ t.m. X 2 me mèsh tim µ 2 Diaforˆ µ µ 2? [X kai X 2 anexˆrthtec] DeÐgma {x, x 2,..., x n } x DeÐgma {x 2, x 22,...,
Διαβάστε περισσότεραJEMATA EXETASEWN Pragmatik Anˆlush I
JEMATA EXETASEWN Pragmatik Anˆlush I JEMA 1o. A)(M. 1.5) Na qarakthrðsete (me aitiolìghsh) tic protˆseic pou akoloujoôn me thn èndeixh Swstì Lˆjoc: (i) 'Estw x 0 tètoio ste x < ε, gia kˆje ε > 0. Tìte
Διαβάστε περισσότεραShmei seic Sunarthsiak c Anˆlushc
Shmei seic Sunarthsiak c Anˆlushc Apìstoloc Giannìpouloc 1 Panepisthmio Krhthc Tmhma Majhmatikwn Anoixh 2003 1 Tm. Majhmatik n, Panep. Ajhn n 2 Perieqìmena 1 Μετρικοί χώροι 5 1.1 Ορισμός................................................
Διαβάστε περισσότερα2+sin^2(x+2)+cos^2(x+2) Δ ν =[1 1 2 ν 1, ν ) ( ( π (x α) ημ β α π ) ) +1 + a 2
Parathr seic sta Jèmata Jetik c kai Teqnologik c KateÔjunshc tou ètouc 7 Peiramatikì LÔkeio Euaggelik c Sqol c SmÔrnhc 1 IounÐou 7 PerÐlhyh Oi shmei seic autèc anafèrontai sta jèmata Majhmatik n Jetik
Διαβάστε περισσότεραStatistik gia PolitikoÔc MhqanikoÔc ELEGQOS UPOJ
Statistik gia PolitikoÔc MhqanikoÔc ELEGQOS UPOJESEWN 18 DekembrÐou 2012 'Elegqoc Upojèsewn 1 Statistik upìjesh 2 Statistik elègqou kai perioq apìrriyhc 3 Apìfash elègqou Statistik upìjesh mhdenik upìjesh
Διαβάστε περισσότεραSUNOLA BIRKHOFF JAMES ϵ ORJOGWNIOTHTAS KAI ARIJMHTIKA PEDIA
EJNIKO METSOBIO POLUTEQNEIO SQOLH EFARMOSMENWN MAJHMATIKWN & FUSIKWN EPISTHMWN TOMEAS MAJHMATIKWN DIDAKTORIKH DIATRIBH SUNOLA BIRKHOFF JAMES ϵ ORJOGWNIOTHTAS KAI ARIJMHTIKA PEDIA Qr stoc S. Qwrianìpouloc
Διαβάστε περισσότεραAPEIROSTIKOS LOGISMOS I
1 OktwbrÐou 2012 Kwdikìc Maj matoc: 101 (U) 'Etoc didaskalðac: 2012-2013, Qeimerinì Exˆmhno Hmèrec didaskalðac: Deut. - Tet. - Par., 11:00-13:00 Didˆskontec Tm ma 1 o (AM pou l gei se 0,1,2) Amf 21, BasÐleioc
Διαβάστε περισσότερα1, 3, 5, 7, 9,... 2, 4, 6, 8, 10,... 1, 4, 7, 10, 13,... 2, 5, 8, 11, 14,... 3, 6, 9, 12, 15,...
To Je rhma tou Dirichlet Dèspoina NÐka IoÔlioc 999 Majhmatikì Tm ma Panepist mio Kr thc 2 Prìlogoc Oi pr toi arijmoð, 2, 3, 5, 7,,..., eðnai ekeðnoi oi fusikoð arijmoð oi opoðoi èqoun akrib c dôo diairètec,
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Ψηφιακή Επεξεργασία Φωνής Άσκηση 2η Στυλιανού Ιωάννης Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών HU578: 2 η Seirˆ Ask sewn AporÐec: yannis@csd.uoc.gr 1. (aþ) Sac dðdetai o anadromikìc
Διαβάστε περισσότεραEisagwg sth Grammik 'Algebra Tìmoc B DeÔterh 'Ekdosh Dhm trhc B rsoc Dhm trhc Derizi thc Miq lhc Mali kac OlumpÐa Talèllh Prìlogoc Sto pr to mèroc autoô tou tìmou meletoôme idiìthtec enìc tetragwnikoô
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΙΙ Εξετάσεις Ιουνίου 2002
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ Εξετάσεις Ιουνίου (α) Αναπτύξτε την µέθοδο του τραπεζίου για τον αριθµητικό υπολογισµό του ολοκληρώµατος: b I( f ) = f ( x) a όπου f (x) συνεχής και ολοκληρώσιµη
Διαβάστε περισσότεραστο Αριστοτέλειο υλικού.
Σήματα Συστήματα Μετασχηματισμός Κωνσταντίνος Κοτρόπουλος Τμήμα Πληροφορικής Θεσσαλονίκη, Ιούνιος 203 Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό
Διαβάστε περισσότεραστο Αριστοτέλειο υλικού.
Σήματα Συστήματα Μετασχηματισμός aplace Λυμένες ασκήσεις Κωνσταντίνος Κοτρόπουλος Τμήμα Πληροφορικής Θεσσαλονίκη, Ιούνιος 03 Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative
Διαβάστε περισσότεραΕφαρμοσμένα Μαθηματικά για Μηχανικούς
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά για Μηχανικούς Σημειώσεις: Βασικές Έννοιες Σημάτων και Συστημάτων Γιώργος Τζιρίτας Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών Kefˆlaio 2 Basikèc ènnoiec
Διαβάστε περισσότεραΣτατιστική για Χημικούς Μηχανικούς
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Στατιστική για Χημικούς Μηχανικούς Ενότητα 4: Συσχέτιση & Γραμμική Παλινδρόμηση Κουγιουμτζής Δημήτρης Τμήμα Χημικών Μηχανικών Άδειες Χρήσης
Διαβάστε περισσότεραΣτατιστική για Χημικούς Μηχανικούς
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Στατιστική για Χημικούς Μηχανικούς Ενότητα 3: Έλεγχος Υποθέσεων Κουγιουμτζής Δημήτρης Τμήμα Χημικών Μηχανικών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό
Διαβάστε περισσότεραHU215 - Frontist rio : Seirèc Fourier
HU5 - Frontist rio : Seirèc Fourier Epimèleia: Gi rgoc P. Kafentz c Upoy. Didˆktwr Tm m. H/U Panepist mio Kr thc MartÐou 4. Na sqediˆsete to fˆsma plˆtouc kai to fˆsma fˆshc tou s matoc xt + cosπt sinπt
Διαβάστε περισσότεραAnaz thsh eustaj n troqi n se triplˆ sust mata swmˆtwn
Tmhma Fusikhc Aristoteleio Panepisthmio Jessalonikhc Ptuqiakh Ergasia Anaz thsh eustaj n troqi n se triplˆ sust mata swmˆtwn Ajanˆsioc MourtetzÐkoglou A.E.M.:13119 epiblèpwn kajhght c G. Bougiatz c 8 IoulÐou
Διαβάστε περισσότεραSofÐa ZafeirÐdou. Analutik GewmetrÐa. Tm ma Majhmatik n Panepist mio Patr n. Bohjhtikèc Shmei seic gia to mˆjhma. SofÐa ZafeirÐdou
Tm ma Majhmatik n Panepist mio Patr n Bohjhtikèc Shmei seic gia to mˆjhma Analutik GewmetrÐa Anaplhr tria Kajhg tria Pˆtra 2014 Οι σημειώσεις αυτές γραφτηκαν για τις ανάγκες του μαθήματος Αναλυτική Γεωμετρία
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ
ΕΘΝΙΚΟ ΚΑΙ ΚΑΠΟΔΙΣΤΡΙΑΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ Εισαγωγή στη Μιγαδική Ανάλυση Ι. Γ. Στρατής Καθηγητής Τμήμα Μαθηματικών Αθήνα, 2006 Εισαγωγή
Διαβάστε περισσότεραENA TAXIDI STH SUNOQH. g ab T a bc. R i jkl
ENA TAXIDI STH SUNOQH Γ i jk g ab T a bc K i jk i jk { i jk } g ab R i jkl Suggrafèac: Ant nioc Mhtsìpouloc 1 Epiblèpwn: Kajhght c Miqˆlhc Tsamparl c 2 AJHNA 2017 1 E-mail: antonmitses@gmailcom 2 Τμήμα
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία Πιθανοτήτων και Στατιστική
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Θεωρία Πιθανοτήτων και Στατιστική Ενότητα 2: Εκτίμηση Παραμέτρων Κουγιουμτζής Δημήτρης Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών & Μηχανικών Υπολογιστών
Διαβάστε περισσότεραStatistik gia QhmikoÔc MhqanikoÔc EKTIMHSH PARA
Statistik gia QhmikoÔc MhqanikoÔc EKTIMHSH PARAMETRWN - 1 12 AprilÐou 2013 Eisagwgikˆ sthn ektðmhsh paramètrwn t.m. X me katanom F X (x; θ) Parˆmetroc θ: ˆgnwsth θ µ, σ 2, p DeÐgma {x 1,..., x n }: gnwstì
Διαβάστε περισσότεραErgasthriak 'Askhsh 2
Kefˆlaio 2 Ergasthriak 'Askhsh 2 Οπου θα δούμε πώς μπορούμε να ορίζουμε δικές μας διαδικασίες και θα παρουσιάσουμε τις primitive διαδικασίες χειρισμού λιστών, τις μεταβλητές και τα side effects. 2.1 P
Διαβάστε περισσότεραUpologistik Fusik Exetastik PerÐodoc IanouarÐou 2013
Upologistik Fusik Exetastik PerÐodoc IanouarÐou 03 Patra, 6 Ianouariou 03 Jèma A. Na exhg sete grafikˆ thn mèjodo thc diqotìmhshc. B. Na exhg sete grafikˆ thn mèjodo Runge Kutta. Jèma. DiatÔpwsh Oi migadikèc
Διαβάστε περισσότεραthlèfwno: , H YHFIAKH TAXH A' GumnasÐou Miqˆlhc TzoÔmac Sq. Sumb. kl.
A' GumnasÐou Sq. Sumb. kl. PE03 GiatÐ epibˆlletai h eisagwg thc sôgqronhc teqnologðac sthn ekpaðdeush. Η Πληροφοριοποίηση της κοινωνίας. Η αυξανόμενη πολυπλοκότητα του εκπαιδευτικού συστήματος. Η σημερινή
Διαβάστε περισσότεραspin triplet S =1,M S =0 = ( + ) 2 S =1,M S = 1 = spin singlet S =0,M S =0 = ( )
SummetrÐec kai Quarks Nikìlaoc A. Tetr dhc Iw nnhc G. Flwr khc 2 Perieqìmena Eisagwgikèc ènnoiec 5. Eisagwg............................. 5.2 SummetrÐa Isospin......................... 0 2 StoiqeÐa JewrÐac
Διαβάστε περισσότεραΑνάλυση. σήματα και συστήματα
Σήματα Συστήματα Ανάλυση ourier διακριτού χρόνου Κωνσταντίνος Κοτρόπουλος Τμήμα Πληροφορικής για σήματα και συστήματα Θεσσαλονίκη, Ιούνιος 23 Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες
Διαβάστε περισσότεραΜΕΤΑΒΟΛΙΚΕΣ ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ ΚΑΙ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΛΕΥΘΕΡΩΝ ΣΥΝΟΡΩΝ ΣΤΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΝΙΠΥΡΑΚΗ ΜΑΡΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ
ΜΕΤΑΒΟΛΙΚΕΣ ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ ΚΑΙ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΛΕΥΘΕΡΩΝ ΣΥΝΟΡΩΝ ΣΤΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΝΙΠΥΡΑΚΗ ΜΑΡΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΗΡΑΚΛΕΙΟ ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ
Διαβάστε περισσότεραUpologistikˆ Zht mata se Sumbibastikèc YhfoforÐec
Panepisthmio Patrwn - Poluteqnikh Sqolh Tm ma Mhqanik n Hlektronik n Upologist n kai Plhroforik c Upologistikˆ Zht mata se Sumbibastikèc YhfoforÐec Dhmhtrioc Kalaðtzhc Diplwmatik ErgasÐa sto plaðsio tou
Διαβάστε περισσότερα2 PerÐlhyh Se aut n thn ergasða, parousi zoume tic basikìterec klassikèc proseggðseic epðlushc Polu-antikeimenik n Problhm twn BeltistopoÐhshs(PPB) ka
MejodologÐec sthn Polu-Antikeimenik BeltistopoÐhsh apì Antwnèlou E. GewrgÐa Diplwmatik ErgasÐa Sqol Jetik n Episthm n Tm ma Majhmatik n Panepist mio Patr n Epiblèpousa: EpÐk.Kajhg tria J. N. Gr ya P tra,
Διαβάστε περισσότεραJewrÐa UpologismoÔ. Grammatikèc QwrÐc Sumfrazìmena kai Autìmata StoÐbac
M. G. Lagoudˆkhc Τμημα ΗΜΜΥ, Πολυτεχνειο Κρητης SelÐda 1 apì 33 JewrÐa UpologismoÔ Grammatikèc QwrÐc Sumfrazìmena kai Autìmata StoÐbac M. G. Lagoudˆkhc Τμημα ΗΜΜΥ, Πολυτεχνειο Κρητης SelÐda 2 apì 33 Epanˆlhyh
Διαβάστε περισσότεραt t j=1 span(x) = { 1-1
Διάλεξη 1: 08.10.2014 Θεωρία Γραμμικού Προγραμματισμού Γραφέας: Σ. Κ. Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος 1.1 Γραμμική και αφινική ανεξαρτησία Τα διανύσματα x 1,..., x t R n, καλούνται γραμμικά ανεξάρτητα αν
Διαβάστε περισσότεραMELETH TWN RIZWN TWN ASSOCIATED ORJOGWNIWN
IWANNH D. STAMPOLA MAJHMATIKOU MELETH TWN RIZWN TWN ASSOCIATED ORJOGWNIWN q-poluwnumwn DIDAKTORIKH DIATRIBH TMHMA MAJHMATIKWN SQOLH JETIKWN EPISTHMWN PANEPISTHMIO PATRWN PATRA 2004 Stouc goneðc mou kai
Διαβάστε περισσότεραΣήματα Συστήματα Ανάλυση Fourier για σήματα και συστήματα συνεχούς χρόνου Περιοδικά Σήματα (Σειρά Fourier)
Σήματα Συστήματα Ανάλυση Fourier για σήματα και συστήματα συνεχούς χρόνου Περιοδικά Σήματα (Σειράά Fourier) Κωνσταντίνος Κοτρόπουλος Τμήμα Πληροφορικής Θεσσαλονίκη, Ιούνιος 3 Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό
Διαβάστε περισσότεραPANEPISTHMIO KRHTHS SQOLH JETIKWN KAI TEQNOLOGIKWN EPISTHMWN TMHMA MAJHMATIKWN ELENH TZANAKH SUNDUASTIKH GENIKEUMENWN SUMPLEGMATWN SMHNWN KAI PARATAGMATWN UPEREPIPEDWN DIDAKTORIKH DIATRIBH HRAKLEIO 2007
Διαβάστε περισσότερα+#!, - ),,) " ) (!! + Henri Poincar e./ ', / $, 050.
Topologik Taxinìmhsh Dunamik n Susthm twn StaÔroc AnastasÐou Didaktorikh Diatribh Panepisthmio Patrwn Sqolh Jetikwn Episthmwn Tmhma Majhmatikwn Patra 2012 H Trimelhc Sumbouleutikh Epitroph SpÔroc N. Pneumatikìc,
Διαβάστε περισσότεραΦυλλο 3, 9 Απριλιου Ροδόλφος Μπόρης
FÔlla Majhmatik c PaideÐac Φυλλο 3, 9 Απριλιου 2010 StoiqeiojeteÐtai me to L A TEX 2ε Epimèleia: N.S. Maurogi nnhc, Dr Majhmatik n Peiramatikì LÔkeio Euaggelik c Sqol c SmÔrnhc mavrogiannis@gmail.com 1
Διαβάστε περισσότερα2
LOGISMOS METABOLWN & EFARMOGES STH MAJHMATIKH MONTELOPOIHSH PTUQIAKH ERGASIA DIONUSHS JEODOSHS-PALIMERHS A.M. : 311/2003028 EPIBLEPWN: NIKOLOPOULOS QRHSTOS A PANEPISTHMIO AIGAIOU TMHMA MAJHMATIKWN SAMOS
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑ 2, Έλεγχος ροής προγράμματος ΒΑΣΙΚΗ ΣΥΝΤΑΞΗ:
ΜΑΘΗΜΑ 2, 080312 Έλεγχος ροής προγράμματος Μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε μια σειρά από λογικούς ελέγχους (συγκρίσεις) και με βάση το αποτέλεσμά τους γίνεται η λήψη αποφάσεων για τη συνέχεια του προγράμματος
Διαβάστε περισσότεραN.Σ. Μαυρογιάννης 2010
N.Σ. Μαυρογιάννης 200 Το παρόν µπορεί να διανεµηθεί και να αναπαραχθεί ελεύθερα µε την παράκληση να διατηρηθεί η αρχική του µορφή Προλεγόµενα Στην µαθηµατική λέσχη http://clubs.pathfinder.gr/mathematica/
Διαβάστε περισσότεραmajhmatikoð upologismoð. To biblðo mporeð na qwristeð jematikĺ se treic enìthtec. Thn prÿth enìthta apoteloôn
Prìlogoc To parìn sôggramma apeujônetai se proptuqiakoôc foithtèc TmhmĹtwn Poluteqnikÿn Sqolÿn kai Teqnologikÿn Ekpaideutikÿn IdrumĹtwn sta opoða didĺskontai eisagwgikĺ topografikĺ majămata. Epiplèon apeujônetai
Διαβάστε περισσότεραΑνάλυση ΙΙ Σεπτέµβριος 2012 (Λύσεις)
Ανάλυση ΙΙ Σεπτέµβριος 01 (Λύσεις) Θέµα 1ο: Χρησιµοποιώντας τον ορισµό της µερικής παραγώγου να ϐρείτε τις τιµές των παραγώγων f (0,0) και f (0,0) της συνάρτησης Λύση: Σύµφωνα µε τον ορισµό έχουµε ( )
Διαβάστε περισσότεραG. A. Cohen ** stìqo thn kubernhtik nomojesða kai politik, den upˆrqei tðpota to qarakthristikì sth morf thc.)
Εκεί που βρίσκεται η πράξη: Περί του πεδίου της διανεμητικής δικαιοσύνης G. A. Cohen ** Mετάφραση: Νικόλας Βρούσαλης Ι Σε αυτή την εργασία υπερασπίζομαι έναν ισχυρισμό που μπορεί να εκφραστεί με ένα οικείο
Διαβάστε περισσότεραDidaktorikèc spoudèc stic HPA, sta Majhmatikˆ. 20 MartÐou 2015
Didaktorikèc spoudèc stic HPA, sta Majhmatikˆ 20 MartÐou 2015 Sunjhkec spoud n Misjìc: 1700-2500 dolˆria to m na. EnoÐkio: 700-1200 dolˆria. Mènw me sugkˆtoiko(-ouc). Upoqre seic se 2 wc 0 exˆmhna to qrìno:
Διαβάστε περισσότεραΘέµα 1 (15%): (απαιτούµενος χρόνος < 15 λεπτά)
Θέµα 1 (15%): (απαιτούµενος χρόνος < 15 λεπτά) Εκτελέστε µε το χέρι το παρακάτω πρόγραµµα και γράψτε όλες τις ενδιάµεσες τιµές και τις τιµές που τυπώνονται: int m,n; m=2; n=1; m=m+5; if (m>=9) m=m-8; n=n+7;
Διαβάστε περισσότεραApeirostikìc Logismìc III
Apeirostikìc Logismìc III Le nh Euaggelˆtou-Dˆlla Tm ma Majhmatik n Panepist mio Ajhn n 15-16 Perieqìmena I Diaforikìc Logismìc 1 1 Εισαγωγή 3 1.1 Ο R n ως διανυσματικός χώρος.........................
Διαβάστε περισσότεραB ν = 2kT. I ν = 2kT b. Te tν/μ dt ν /μ (59) T b T (1 e τν ) (60) T b τ ν T (61)
Sta radiokômata (gia hν kt kai e hν/kt 1 hν/kt ) h sun rthsh tou Plank paðrnei thn polô apl morf tou nìmou Rayleigh-Jeans: kai h jermokrasða lamprìthtac dðnetai apì th sqèsh B ν = 2kT λ 2 (57) I ν = 2kT
Διαβάστε περισσότεραHU215: 4h Seirˆ Ask sewn
1. Συνέλιξη HU215: 4h Seirˆ Ask sewn Deutèra 7 AprilÐou 2014 Parˆdosh: TrÐth 29 AprilÐou 2014 AporÐec: hy215-list@csd.uoc.gr Σχεδιάστε τα παρακάτω σήματα και υπολογίστε τη συνέλιξη τους: 2e t, t 0 (αʹ)
Διαβάστε περισσότεραEISAGWGH STON PROGRAMMATISMO ( ) 'Askhsh 2
EISAGWGH STON PROGRAMMATISMO (2008-09) 'Askhsh 2 Pollèc forèc, èqoume dedomèna ta opoða eðnai bolikì na emfanðzontai stoiqismèna se st lec. Gia parˆdeigma, fantasteðte ìti ja jèlame na eðqame, sth morf
Διαβάστε περισσότεραKBANTOMHQANIKH II (Tm ma A. Laqanˆ) 28 AugoÔstou m Upìdeixh: Na qrhsimopoihjeð to je rhma virial 2 T = r V.
Jèma 1: KBANTOMHQANIKH II (Tm ma A. Laqanˆ) 8 AugoÔstou 001 SwmatÐdio mˆzac m kineðtai sto kentrikì dunamikì V (r) = λ log (r/a). Gia tic idiokatastˆseic thc enèrgeiac na brejeð h mèsh tim tou tetrag nou
Διαβάστε περισσότεραGENIKA MAJHMATIKA. TEI SERRWN SQOLH DIOIKHSHS KAI OIKONOMIAS Tm ma Logistik c
GENIKA MAJHMATIKA ΓΙΩΡΓΙΟΣ ΚΑΡΑΒΑΣΙΛΗΣ TEI SERRWN SQOLH DIOIKHSHS KAI OIKONOMIAS Tm ma Logistik c 26 Μαΐου 2011 Συνάρτηση f ονομάζεται κάθε σχέση από ένα σύνολο A (πεδίο ορισμού) σε σύνολο B με την οποία
Διαβάστε περισσότεραI
Panepist mio Patr n Sqol Jetik n Episthm n Tm ma Majhmatik n Tomèas Efarmosmènhs An lushs Eust jeia kai Q oc Qamilt niwn Susthm twn Poll n Bajm n EleujerÐac: Apì thn Klasik sth Statistik Mhqanik Didaktorik
Διαβάστε περισσότεραYWMIADH BASILEIOU fifianalush PROSARMOGHS ELASTOPLASTIKWN METALLIKWN KATASKEUWN UPO TO TRISDIASTATO KRITHRIO DIARROHS TRESCA ME TEQNIKES TOU HMIJETIKO
ARISTOTELEIO PANEPISTHMIO JESSALONIKHS TMHMA POLITIKWN MHQANIKWN TOMEAS EPISTHMHS KAI TEQNOLOGIAS TWN KATASKEUWN YWMIADH BASILEIOU PtuqioÔqou PolitikoÔ MhqanikoÔ fifianalush PROSARMOGHS ELASTOPLASTIKWN
Διαβάστε περισσότερα10/2013. Mod: 02D-EK/BT. Production code: CTT920BE
10/2013 Mod: 02D-EK/BT Production code: CTT920BE GR ΕΓΧΕΙΡΙ ΙΟ ΧΡΗΣΗΣ ΚΑΙ ΣΥΝΤΗΡΗΣΗΣ σελ. 1 ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ ΚΕΦ 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ... 3 ΚΕΦ 2 ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗ... 3 2.1 ΜΕΤΑΚΙΝΗΣΗ ΚΑΙ ΑΠΟΣΥΣΚΕΥΑΣΙΑ...3 2.2 ΗΛΕΚΤΡΙΚΗ
Διαβάστε περισσότεραΣχόλια για το Μάθημα. Λουκάς Βλάχος
Σχόλια για το Μάθημα Λουκάς Βλάχος Σκοπός του μαθήματος Ηεξοικείωσημετολογισμότωνμεταβολών σε περισσότερες διαστάσεις Η άνετη χρήση του διανυσματικού λογισμού και των μετασχηματισμών συστημάτων συντεταγμένων
Διαβάστε περισσότερα